TEORIA DE VIBRACIONES

Una estructura vibrante tiene cuatro propiedades básicas: masa, rigidez, amortiguamiento y desplazamiento. Una vibración mecánica es la oscilación de la masa alrededor de su punto de equilibrio. La naturaleza de la oscilación está determinada no sólo por la masa sino también por la rigidez y el amortiguamiento propio de la estructura.

vibraciones1

En teoría, la masa puede ser una partícula infinitesimal, tal como una masa condensada, y el amortiguamiento puede estar ausente. En la práctica, la masa de una estructura mecánica tiene peso y dimensiones espaciales, y el amortiguamiento es siempre un factor a considerar.

Las vibraciones mecánicas aparecen cuando la estructura se perturba a partir de su posición de equilibrio aplicando bien un impulso o una excitación periódica.

  • Una excitación del tipo impulso produce una vibración libre de la estructura, que vibra a una o más frecuencias naturales (o frecuencias de resonancia) de la estructura y genera una respuesta de cierta magnitud.
  • Una excitación periódica produce una vibración forzada de la estructura, que vibra a la frecuencia de la excitación periódica.
  • Cuando el amortiguamiento está presente en cualquier vibración libre o forzada, el movimiento de la estructura eventualmente se reduce a cero debido a la disipación de energía.

Vibración Libre

La vibración libre ocurre cuando una masa se desplaza una distancia X y se deja vibrar libremente. El desplazamiento se debe a una excitación tipo impulso de la estructura, sin la aplicación de ninguna fuerza externa a la misma. La masa oscila alrededor de su punto de equilibrio.

Cuando la estructura está en equilibrio estático, el peso de la masa (mg) es igual a la fuerza del muelle (Δk), tal como muestra la siguiente imagen. La fuerza del muelle se define como el producto de la constante de rigidez del muelle, k, y la elongación del muelle en reposo, Δ.

vibracion-libre

Cada estructura tiene una o más frecuencias naturales de vibración. Las frecuencias naturales (también llamadas frecuencias de resonancia) es la frecuencia a la cual la rigidez y las fuerzas de inercia se anulan entre sí. En análisis modal, los picos de la función de respuesta en frecuencia (FRF) se usan para identificar las frecuencias naturales y modos de vibración de la estructura.

Vibración Libre No Amortiguada

En el caso de una vibración libre no amortiguada la masa oscila con su frecuencia natural alrededor del punto de equilibrio de forma indefinida ya que no hay disipación de energía. Cuando la masa se desplaza una distancia X, la expresión para la fuerza del muelle es la siguiente:

Fk = k(Δ + x)

Y la fuerza resultante actuando en la masa es la siguiente:

F = mgk(Δ + x) = –kx

Según la ley fundamental de Newton F = ma y dado que la aceleración es la segunda derivada de x, entonces m = –kx que proporciona la siguiente ecuación de movimiento de un sistema de vibración libre no amortiguada:

mẍ + kx = 0

La siguiente imagen muestra la gráfica en función del tiempo de la vibración resultante no amortiguada como una onda tipo seno de magnitud x. La frecuencia natural de la estructura es la frecuencia de la onda seno.

vibracion-libre-no-amortiguada

Vibración Libre Amortiguada

En el caso de una vibración libre amortiguada la masa oscila con su frecuencia natural alrededor del punto de equilibrio con una magnitud que tiende a cero debido a la disipación de la energía. Debido a que la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la velocidad de la masa, el término de amortiguamiento se obtiene multiplicando la constante de amortiguamiento c por la velocidad. El amortiguamiento se introduce como un valor negativo en la fuerza resultante. La expresión de la fuerza resultante es igual a la masa multiplicada por la aceleración:

mg – k(Δ + x) – cẋ = mẍ

Recordemos que en el punto de equilibrio las fuerzas de la estructura son mg = kΔ, por tanto la ecuación de movimiento para un sistema de vibración libremente amortiguado puede expresarse como una ecuación diferencial de segundo orden:

mẍ + cẋ + kx = 0

Nótese que todos los términos estructurales están presentes: masa, amortiguamiento, rigidez y desplazamiento. La siguiente imagen muestra la gráfica en función del tiempo de la vibración resultante amortiguada como una onda tipo seno. El valor pico de la Función de Respuesta en Frecuencia (FRF) es la frecuencia natural de la estructura.

vibracion-libre-amortiguada

  • La Función de Respuesta en Frecuencia (Frequency Response Function, FRF) es una función de transferencia que nos permite evaluar la respuesta en frecuencia en uno o más nodos (o elementos!!) a una excitación de fuerza unitaria aplicada en un nodo.
  • En cambio, la Transmisibilidad (Transmissibility) nos permite evaluar la respuesta en frecuencia en uno o más nodos/elementos a una excitación del tipo movimiento de la base (enforced motion) tal como desplazamiento, velocidad o aceleración aplicado en el nodo de entrada.
  • La respuesta puede ser desplazamiento, velocidad, aceleración, tensión, deformación unitaria o reacciones.

Vibración Forzada

La vibración forzada ocurre cuando una fuerza periódica Fsinωt se aplica a la masa (m) de la estructura, donde ω es la velocidad angular (la frecuencia) de la fuerza y F es la magnitud de la fuerza.

Cuando la estructura está en equilibrio estático, el peso de la masa (mg) es igual a la fuerza del muelle (Δk), tal como muestra la siguiente imagen. La fuerza del muelle se define como el producto de la constante de rigidez del muelle, k, y la elongación del muelle en reposo, Δ.

vibracion-libre

En un problema de vibración forzada la estructura vibra con la frecuencia de la carga periódica aplicada a la estructura y la magnitud depende de la propia estructura, no de la carga aplicada.

Cuando la frecuencia de la carga periódica es la misma que la frecuencia natural de la estructura, aparece el fenómeno de la resonancia. Esto puede causar problemas muy graves ya que la magnitud del movimiento sigue aumentando mientras se mantenga la fuerza, por lo tanto puede llegar a destruir la estructura.

Vibración Forzada No Amortiguada

En el caso de una vibración forzada no amortiguada la masa oscila a la frecuencia de la fuerza alrededor del punto de equilibrio de forma indefinida ya que no hay disipación de energía. En este caso la fuerza resultante en la estructura es la suma de fuerzas inherentes al sistema más la fuerza periódica, siendo igual a la masa por la aceleración:

Fsinωt + mgk(Δ + x) = mẍ

donde t es el tiempo, x el desplazamiento, yla aceleración.

Recordemos que en el equilibrio las fuerzas de la estructura son mg = kΔ, por tanto la ecuación de movimiento de un sistema de vibración forzada no amortiguada se puede escribir como:

mẍ + kx = Fsinωt

En este caso el término de la fuerza tiene un valor no nulo ya que la fuerza aplicada a la estructura tiene una magnitud distinta de cero.

Vibración Forzada Amortiguada

En el caso de una vibración forzada amortiguada la masa oscila alrededor del punto de equilibrio con una magnitud que tiende a cero debido a la disipación de la energía a la frecuencia impuesta por la fuerza periódica. Debido a que la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la velocidad de la masa, el término de amortiguamiento se obtiene multiplicando la constante de amortiguamiento c por la velocidad. El amortiguamiento se introduce como un valor negativo en la fuerza resultante. La expresión de la fuerza resultante se iguala a la masa multiplicada por la aceleración:

Fsinωt + mgk(Δ + x) – cẋ mẍ

Recordemos que en el punto de equilibrio las fuerzas de la estructura son mg = kΔ, por tanto la ecuación de movimiento para un sistema de vibración forzada amortiguado puede expresarse como una ecuación diferencial de segundo orden:

mẍ  + cẋ + kx = Fsinωt

Esta es la ecuación general de movimiento para una estructura con un único grado de libertad bajo vibración forzada.

GDL y Modos de Vibración

Una estructura tiene tantas frecuencias naturales como grados de libertad (degrees-of-freedom, DOFs) tenga, este es el primer concepto que se debe aprender en vibraciones. Cada modo de vibración está caracterizado por una frecuencia natural (resonancia, en Hz) y una forma del modo de vibración (mode shape).

El modo de vibración (mode shape) generalmente representa el desplazamiento de un nodo de la estructura relativo al resto de nodos del modelo de EF, por tanto es un valor normalizado, el resultado numérico no tiene ningún significado, no se puede decir que “la estructura tiene un desplazamiento de x mm” al representar en pantalla su modo de vibración (tal como he visto escrito en algún informe de cálculo por ahí …).

Estructura con 1 GDL

Una estructura con un único GDL tiene un solo modo de vibración y se caracteriza por:

  • Una masa condensada constituyendo un nodo de la estructura.
  • Una deformada estructural a lo largo de un eje.
  • Una frecuencia de resonancia.

El modo de vibración de una estructura con un sólo GDL es difícil de visualizar ya que la estructura tiene únicamente un punto. Se puede pensar en un modo de vibración con una masa puntual oscilando a lo largo de un eje. Ya que no hay más puntos en la estructura, no hay ninguna otra relación posible de movimiento.

Estructura con 2 GDL

Una estructura con dos nodos que sólo se pueden mover a lo largo de un eje sólo tiene 2 GDL, y por lo tanto tendrá únicamente dos modos de vibración. Para ilustrar este tipo de estructuras la siguiente imagen muestra una estructura compuesta por dos masas puntuales, dos muelles y dos amortiguadores. En el primer modo de vibración de la estructura es posible que las dos masas puntuales oscilen en la misma dirección y al mismo tiempo. Se dice que las dos masas nodales se mueven en-fase una respecto de la otra, tal como muestra la siguiente imagen. Este primer modo de vibración está caracterizado por una frecuencia relativamente baja y una amplitud relativamente alta.

estructura-con-dos-gdl-modo1

En el segundo modo de vibración de la estructura las dos masas puntuales oscilan en dirección opuesta. Están desfasadas la una de la otra. Una inspección detallada de la posición relativa de los amortiguadores en el siguiente gráfico revela que las dos masas se mueven en dirección opuesta simultáneamente al mismo tiempo. El Modo#2 tiene mayor frecuencia y menor amplitud que el Modo#1.

estructura-con-dos-gdl-modo2

La gráfica de respuesta del Modo#1 define de forma aproximada el comportamiento de cualquiera de los puntos del sistema a una frecuencia de resonancia baja mientras que la respuesta del Modo#2 se aproxima a una frecuencia de resonancia alta.

Es fácil visualizar los dos modos de vibración en este tipo de estructuras porque las masas puntuales oscilan bien en-fase o fuera-de-fase una de la otra. A baja frecuencia de resonancia, la relación en-fase es más aparente, y a alta frecuencia de resonancia la relación de desfase es más clara.

El patrón real de desplazamiento de cualquiera de las dos masas puntuales virtualmente a cualquier frecuencia resulta de combinar los diferentes desplazamientos en la estructura simultáneamente, mientras que en este caso la respuesta de la estructura se compone únicamente del Modo#1 y Modo#2.

estructura-con-dos-gdl-modo2-detail

Si miramos por separado las Funciones de Respuesta en Frecuencia (FRF) por cada modo de vibración, es fácil comprobar cómo aparece una tercera función de respuesta en frecuencia (la que se obtendría con la respuesta actual de la estructura) que en realidad es la suma de las funciones de respuesta en frecuencia de cada modo por separado.

estructura-con-dos-gdl-modo2-detail2

Estructura con 3 GDL

Una estructura con 3 GDL tiene tres modos de vibración. Supongamos que tenemos una Tabla de Tranpolín en voladizo dividida en tres segmentos, tal como muestra la siguiente imagen, y supongamos que cada segmento se representa por un nodo con un único GDL.

3dof-modelo

En el Modo#1 los tres nodos oscilan alrededor del punto de equilibrio en fase unos con otros. Este es el modo de vibración más comúm que aparece cuando un nadador salta a la piscina desde el extremo del tranpolín.

3dof-modo1

La estructura además también vibra según los Modos #2 y #3. Estos modos de vibración están claramente desfasados entre los distintos nodos del modelo.

3dof-modo2

De nuevo, si la frecuencia de resonancia aumenta, la magnitud de la respuesta decrece. La siguiente imagen compara las frecuencias y magnitudes de los tres Modos de vibración para la respuesta en desplazamiento del nodo#1.

3dof-response-nodo1

Cuando se suman las respuestas para los tres Modos de vibración aparece una imagen mucho más exacta del comportamiento real del nodo#1. La imagen con la Función de Respuesta en Frecuencia (FRF) muestra que los tres Modos de vibración están presentes según aumenta la frecuencia.

3dof-frf-nodo1

La respuesta de la estructura para los nodos#2 y 3 es similar al nodo#1. Lo único que cambia es la amplitud del desplazamiento.

Saludos,
Blas.

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53.- SINE VIBRATION MODAL FREQUENCY RESPONSE DYNAMIC ANALYSIS – ENFORCED MOTION

Últimamente veo que hay bastante interés en Análisis de Vibraciones ya que recibo bastantes consultas al respecto, tanto peticiones de empresas para realizar servicios de cálculo e ingeniería como consultas de usuarios finales y clientes de FEMAP, así que utilizando la última versión de FEMAP V11.1 (todavía en fase BETA) y aprovechando que ya incorpora internamente la última versión del solver de Análisis por Elementos Finitos NX NASTRAN V9.0 –¡¡con novedades muy interesantes en Análisis Dinámico Avanzado!!– voy a enseñaros a resolver un sencillo problema de Análisis Modal Dinámico de Respuesta en Frecuencias (SOL111) también conocido como “Sine Frequency Swept“, es decir, barrido en frecuencias seno.

FREQ-RESPONSE

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48.- CATAMARÁN DE ALTA VELOCIDAD Mallado y Analizado con FEMAP y NX Nastran

Gary Davidson, Senior Director del Dpto. de Estructuras de la empresa Revolution Design (Australia) nos explica en este vídeo cómo el uso de FEMAP y NX NASTRAN ha sido clave en el Diseño, Mallado y Análisis por Elementos Finitos de un Catamarán de alta velocidad.

CATAMARAN_small

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Saludos,
Blas.

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41.- FEMAP MIDSURFACE MODELING: Método “OFFSET”

Midsurface Modeling” se denomina así el proceso de extracción de la superficie media entre dos caras paralelas de la pared de un sólido con el objetivo de preparar la geometría para mallar con elementos Shell 2-D CQUAD4 en orden a reducir la complejidad del modelo y aumentar la precisión y exactitud del Análisis por Elementos Finitos.

Es un recurso muy potente, versátil y de máxima importancia, particularmente en análisis avanzados (lineales y no lineales) donde, por ejemplo, sería imposible abordar un problema de Análisis No Lineal Dinámico Transitorio Implícito (SOL601,129) con cientos de steps en caso de mallar con elementos sólidos tetraédricos CTETRA, el tamaño de la base de datos sería enorme, probablemente cientos de Gigas, habría que disponer de cientos de GB de memoria RAM para poder abrir el modelo debido al enorme tamaño de la base de datos resultante. Por esta razón es crítico conocer bien cómo crear superficies medias de forma rápida y eficiente para mallar con elementos Shell CQUAD4, en la práctica profesional del experto analista son los elementos más utilizados.

En FEMAP existen numerosas funcionalidades para la creación más o menos automática de superficies medias, las dos más importantes son:

  • Geometry > Midsurface > Automatic…“: agrupa en un mismo comando las tres órdenes siguientes de creación semi-manual de una superficie media: Generate, Intersect y Cleanup. La orden solicita que se introduzca una distancia máxima de búsqueda de pares de superficies, crea las superficies medias, las recorta y borra los trozos que sobran.

Las tareas que lleva a cabo esta orden son las siguientes:

Midsurface Auto
xxxx Surface(s) Selected…
Examining Surfaces…
Extracting Mid-Surfaces…
Removing Duplicates…
Intersecting Mid-Surfaces…
Identifying Unnecessary Mid-Surfaces…
Deleting Unnecessary Mid-Surfaces…

  • Geometry > Midsurface > Offset Tangent Surfaces…“: se utiliza preferentemente sólo con sólidos de espesor constante. La orden pide seleccionar una cara, busca todas las que sean tangentes en base a una tolerancia dada y genera la superficie media. Tiene una peculiaridad muy importante: las superficies medias generadas con el método OFFSET ya están “cosidas“, todas forman un único cuerpo, lo cual facilita el posterior mallado.

La utilización de una u otra orden dependerá en general del tipo de geometría de partida. Por ejemplo, en el siguiente modelo CAD 3-D sólido existe una intersección en T que condiciona como más adecuado el uso del método “Automatic” en vez de “Offset“.

La siguiente imagen muestra la malla generada a base de elementos Shell 2-D CQUAD4. Sobre dicha malla se representa el reparto de la calidad de los elementos utilizando el parámetro de distorsión de la malla ALTERNATE TAPER (se considera fallo cuando Q4_TAPER > 0.5) que en general es el parámetro de control de distorsión de la malla más exigente de NX Nastran con los elementos Shell CQUAD4.

La siguiente imagen muestra la distribución de la calidad de la malla en el modelo de elementos finitos utilizando el parámetro de distorsión de los elementos en base a la relación de aspecto (ASPECT RATIO, AR). Se considera fallo cuando el valor máximo es AR > 10.

Si quieres repetir este tutorial en tu propio ordenador pídenos los modelos con la geometría de entrada y te lo remitimos por e-mail, es un servicio gratuito y exclusivo para nuestros clientes de IBERISA.

Saludos,
Blas.

25.- ANÁLISIS DE FRECUENCIAS (SOL103) DE UN ENSAMBLAJE CON CONTACTOS “SURFACE-TO-SURFACE”

Hola!,
Más de una vez los usuarios de FEMAP y NX NASTRAN me han hecho la siguiente pregunta: ¿Cómo realizar un análisis dinámico de frecuencias (SOL103) de un ensamblaje considerando el contacto “superficie-a-superficie” entre piezas permitiendo que los componentes se desplacen entre sí pero que no penetren unos con otros?. Con NX NASTRAN no hay problema: el solver permite realizar lo que se conoce como un “pre-stiffness modal analysis” a través del comando STATSUB calculando la matriz de rigidez diferencial que incluye la matriz de contacto (función ya disponible en NX Nastran V5.0 desde Abril 2007, ver http://www.iberisa.com/productos/nxnastran/nx_nastran_v5.htm).

MODOS NORMALES

Las siguientes imágenes corresponden a los primeros modos de vibración del ensamblaje sin considerar ningún tipo de contacto, se aprecia la existencia de penetración libre entre componentes.

Mode#1 = 1190.027 Hz

Mode#3 = 1456.516 Hz

MODOS CON CONTACTO

En las siguientes imágenes se muestran animados los modos de vibración #1 y #3 del ensamblaje considerando el contacto “superficie-a-superficie” sin penetración. Además de evidenciarse una forma del modo diferente, el valor numérico de la frecuencia (Hz) de los modos con contacto es notablemente superior (f1=1728 Hz con contacto vs. f1=1190 Hz sin contacto), por tanto a igualdad de masa se demuestra que la rigidez es superior en el modelo considerando el contacto “superficie-a-superficie“.

Mode#1 = 1728.475 Hz

Mode#3 = 2377.522 Hz

El procedimiento aquí explicado abre la puerta a realizar cálculos de frecuencias (SOL103) considerando no sólo contacto “superficie-a-superficie”, sino también ver el efecto de las cargas de tracción o compresión en el comportamiento modal de la estructura, capturando el efecto de rigidización por tensión (stiffening effect) o debilitamiento por cargas de compresión (softening effect).

En el siguiente vídeo explico la forma de hacerlo en FEMAP V10.3, espero que os sirva!!.

Descargar vídeo (242 MB, 27 min.): http://www.megaupload.com/?d=78PM37CT

Saludos,
Blas.

7.- Mensaje de Error de NX Nastran: “Run Terminated Due to Excessive Pivot Ratios”

Este es el mensaje de error más típico y habitual que sufre el usuario de NX Nastran al ejecutar el análisis estático lineal (SESTATIC SOL101) de un modelo de elementos finitos. La causa en general se debe a la existencia de una “singularidad” en forma de mecanismo, el modelo no está correctamente restringido para prevenir movimientos de cuerpo rígido, o el usuario se ha despistado y no ha “mergeado” nodos coincidentes.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales es “singular” significa que es imposible una única solución y por tanto la matriz de rigidez no se puede invertir. NX Nastran considera singular que un Grado de Libertad no tenga ninguna rigidez estructural, o ésta sea muy reducida. La siguiente imagen (Fig.1) constituye un caso clásico de matriz de rigidez “singular”, para que el análisis por elementos finitos tenga éxito hay que restringir correctamente el modelo (Fig.2):


Fig.1: Viga con movimiento de cuerpo rígido


Fig.2: Viga correctamenta restringida

Si miramos en el fichero de salida de NX Nastran (*.F06) veremos el mensaje de error indicando los Nodos y GDL que presentan la singularidad por movimientos de cuerpo rígido.

Una forma de “forzar” a NX NASTRAN para que resuelva el análisis sin “rechistar” es introduciendo el comando “PARAM,BAILOUT,-1” en la sección “Nastran Bulk Data“. Pero cuidado!!, este comando debe utilizarse únicamente para detectar el error de modelado y ver qué pieza sale despedida al animar los resultados de desplazamientos y corregir el modelo, PERO NUNCA CON MODELOS FINALES DE PRODUCCIÓN ya que los resultados podrían ser incorrectos.

Por ejemplo, la siguiente imagen muestra una estructura de celosía en voladizo mallada con elementos CROD uniaxiales bi-articulados que tras ejecutar el análisis estático lineal (SESTATIC SOL101) da error. En efecto, utilizando el comando “PARAM,BAILOUT,-1” conseguimos resolver el modelo, pero observando la animación de la deformada no detectamos nada extraño, la deformada es correcta, propia de una viga en voladizo, y los resultados de desplazamiento no son exagerados.

En este caso, el recurso más eficiente es ejecutar un Análisis de Frecuencias (SEMODES SOL103) mediante el cual obtendremos con NX NASTRAN los diferentes modos de vibración de valor cercano a 0.0 Hz, que justamente coincidirán con los movimientos de cuerpo rígido del modelo.

La figura inicial corresponde a la animación del primer modo de vibración de la estructura, tras cuya observación nos damos cuenta que tanto el cordón superior como el inferior están formados por “cuadriláteros articulados”, no por “triángulo rígidos”. Asimismo, las secciones transversales intermedias en los planos “Y-Z” están formadas por cuadriláteros, por tanto la estructura presenta numerosos mecanismos de movimiento de cuerpo rígido en la dirección del eje-Z (GDL T3), si no se arriostra transversalmente la estructura o no se incluyen diagonales en los diferentes cuadriláteros el diseño de “celosía biarticulada en voladizo” no es correcto.

Este recurso de análisis de frecuencias es el “truco clásico de soporte” que llevo utilizando toda la vida profesional para responder a mis clientes cuando me consultan por errores de cálculo en sus modelos de elementos finitos, es simplemente contundente y efectivo, una maravilla. Así que ya sabéis, utilizadlo cuando tengáis problemas, ¿OK?.

Os he preparado un tutorial más detallado en la siguiente dirección: http://www.iberisa.com/soporte/femap/excessive_pivot_ratios_nxnastran_error.htm

Saludos,
Blas.