• Tensión Plana (Plane Stress) con FEMAP y Simcenter NASTRAN

Cómo resolver un problema 2-D de Tensión Plana y comparar resultados entre GLUE vs. CONTACT No-Penetration

En la vida real todo es en 3-D, cierto, pero mallar todo con elementos 3-D sólidos (tetrahedros, hexaedros, etc..) presenta el problema del gran tamaño del modelo de elementos finitos y el elevado coste computacional en cuanto a tiempo de cálculo y/o recursos hardware (memoria RAM y espacio en disco), por eso debemos estar atentos cuando un problema 3-D se pueda simplificar aplicando soluciones 2-D del tipo Tensión Plana (Plane Stress), Deformación Plana (Plane Strain) o sólidos de revolución (Axisymmetric Body of Revolution), lo cual es más habitual en la industria de lo que mucha gente piensa, por tanto es importante conocer cómo aplicar y aprovechar las ventajas de los elementos sólidos 2-D planos para resolver de forma rápida, eficiente y exacta problemas 3-D susceptibles de ser mallados con elementos planos 2-D de tensión plana, deformación plana o simetría de revolución.

En FEMAP y Simcenter NASTRAN V2306 disponemos de los siguientes tipos de elementos sólidos 2-D planos para resolver problemas estáticos y dinámicos, lineales y no lineales, de tensión plana, deformación plana y simetría de revolución:

• Tensión plana: CPLSTS4 cuadrilátero de 4-nodos, CPLSTS8 cuadrilátero de 8-nodos, CPLSTS3 triángulo de 3-nodos, y CPLSTS6 triángulo de 6-nodos.
• Deformación plana: CPLSTN4 cuadrilátero de 4-nodos, CPLSTN8 cuadrilátero de 8-nodos, CPLSTN3 triángulo de 3-nodos, y CPLSTN6 triángulo de 6-nodos.
• Simetría de Revolución: CTRAX3 triángulo de 3-nodos, CQUADX4 cuadrilátero de 4-nodos, CTRAX6 triángulo de 6-nodos, y CQUADX8 cuadrilátero de 8-nodos.

Antes de pasar a resolver un ejemplo práctico vamos a explicar los requisitos que se deben cumplir para aplicar las diferentes simplificaciones de mallado con elementos sólidos planos 2-D disponibles en Simcenter FEMAP y NASTRAN.

Elementos de Tensión Plana (Plane Stress):

• La condición de “tensión plana” puede asumirse para un cuerpo con una de sus dimensiones mucho más pequeña que las otras dos (por ejemplo: placas de pequeño espesor en el plano X-Y) que sólo cuentan con rigidez de membrana y soportan únicamente cargas en el plano.
• La tensión normal al plano se considera cero (σz=0).
• Ejemplo: el análisis de una placa fina cargada en el plano X-Y de la placa, asumiendo que las tensiones causadas por dichas fuerzas son independientes del eje Z y no varían con el espesor de la placa. La suposición de tensión plana es razonable para el caso de placas finas y es muy utilizada en la industria.
• La componente de la deformación en la dirección perpendicular al plano de la placa (eje Z) puede ser -en general- no nula (Módulo de Poisson distinto de cero).
• Los elementos de tensión plana CPLSTS4, CPLSTS8, CPLSTS3 y CPLSTS6 se comportan de forma lineal (la opción de “large displacements & large strains” se ignora) cuando se utilizan con el módulo Estático y Dinámico No Lineal Básico de Simcenter Nastran (SOL106/129), si no usan el modelo de material hiperelástico totalmente no lineal.
• Afortunadamente los elementos anteriores de tensión plana están soportados en el módulo de Simcenter Nastran Multi-Step Nonlinear (SOL401/402).

Elementos de Deformación Plana (Plane Strain):

• La condición de “deformación plana” puede suponerse para cuerpos muy largos cuya geometría y cargas no varíen significativamente en la dirección longitudinal (cualquier sección transversal de espesor unitario alejada de los extremos tendrá el mismo comportamiento en cuanto a tensiones).
• En el análisis de deformación plana la deformación unitaria en la dirección longitudinal es cero (εz=0). En cambio, la tensión no es nula en la dirección longitudinal.
• La suposición de deformación plana es válida para grandes cuerpos cilíndricos o prismáticos sometidos a cargas uniformemente repartidas.
• Ejemplo: el análisis de una presa de hormigón sujeta a presión hidrostática, muros de contención, cilindros de pared gruesa (con deformación restringida axialmente) o tanques de fluido de gran longitud. Esta suposición es válida siempre que consideremos para el análisis una sección alejada de los extremos.
• En Simcenter NASTRAN los elementos de deformación plana CPLSTN4, CPLSTN8, CPLSTN3 y CPLSTN6 se mallan en el plano X-Y del sistema global cartesiano (también admite el plano X-Z).
• Los elementos CPLSTN4, CPLSTN8, CPLSTN3 y CPLSTN6 se comportan de forma lineal cuando se utilizan con el módulo Estático y Dinámico No Lineal Básico de Nastran (SOL106/129).
• Afortunadamente están soportados en el módulo Nastran Multi-Step No Lineal (SOL401/402).

Elementos de Revolución (Axisymmetric Solid Elements):

• Esta opción puede usarse para modelizar “sólidos axisimétricos” (cuerpos de revolución). Se consideran las deformaciones cortantes tanto en el plano como fuera de él, mientras que la opción de deformación plana considera sólo la deformación a cortadura en el plano.
• Ejemplo: El análisis de una tubería (axisimétrica o no) sujeta a una carga axisimétrica (como por ejemplo presión constante o hidrostática).
• La distribución de tensiones a lo largo del espesor del cuerpo puede obtenerse con mayor precisión utilizando esta opción.
• Simcenter NASTRAN V2306 permite mallar con elementos 2-D axisimétricos CTRAX3, CQUADX4, CTRAX6, y CQUADX8 tanto en el plano X-Y como en el plano X-Z.
  • Si se malla en el plano X-Z:
    • El eje Z es la dirección axial y el eje X es la dirección radial.
    • Las tensiones de cortadura Y-Z y X-Y son cero, así como las deformaciones unitarias.
  • Si se malla en el plano X-Y:
    • El eje X es la dirección axial y el eje Z es la dirección radial.
    • Las tensiones de cortadura Y-Z y Z-X son cero, así como las deformaciones unitarias.

Nota Importante:
Antes de NX Nastran V10, la rigidez, masa y aplicación de cargas para los elementos 2-D axisimétricos CTRAX3, CQUADX4, CTRAX6, y CQUADX8 se consideraban por unidad de radián.

A partir de NX NASTRAN V10 la rigidez, masa y aplicación de cargas se basa en la sección completa 2*π radianes. Por ejemplo, una carga concentrada aplicada en un nodo es la fuerza total en toda la circunferencia. Las fuerzas de reacción resultantes se calculan siguiendo el mismo procedimiento.

Afortunadamente para los que nos gusta seguir uando el método de definir cargas y obtener reacciones por unidad de radián tenemos disponible el “nastran system cell” siguiente: SYSTEM(587)=1.

Ejemplo de Tensión Plana: “Orejeta + Eje”

• Vamos a crear un modelo 2-D de Tensión Plana de una orejeta de Aluminio 6061-T6 de espesor 2.5 mm que está insertada en un eje de acero S-275-JR de diámetro Ø50 mm sometida a una carga de tracción FY=20e3 N.
• Aprovecharemos para estudiar los resultados de tensión que obtenemos considerando el conjunto orejeta + eje como una unión rígida (es lo que se denomina “GLUE effect“) vs. una unión con contacto que impide que la orejeta se inserte en el eje, pero permite que se separen (es lo que se denomina “contact no-penetration“).
• Además he utilizado diferentes materiales para el eje y la orejeta: el eje de acero tiene una rigidez de casi 3 veces mayor que la orejeta de aluminio, así podremos ver mejor la tendencia al comparar los resultados.

Generamos la superficies medias de la orejeta y del eje (“midsurfaces”) y preparamos la geometría para mallar con elementos planos de 4-nodos creando PADS & WASHERS tal como muestra la figura siguiente:

• Una vez dividida las superficies de forma regular aplicaremos las propiedades de elementos de Tensión Plana a las superficies.
• Seguidamente aplicamos a todas las superficies medias la orden MESH > MESH CONTROL > APPROACH ON SURFACE con la opción “Mapped – Four Corner“.
• Y finalmente aplicamos el tamaño de malla a las superficies usando la orden MESH > MESH CONTROL > SIZE ON SURFACE.
• Es crítico prescribir a la geometría el “meshing approach: mapped – four corner” ANTES de aplicar el tamaño de malla, de esta forma FEMAP calcula el nº de divisiones de mallado en todas las curvas de las superficies para obtener una malla basada exclusivamente en elementos QUAD de 4-nodos de excelente calidad y con la mejor precisión de resultados, OK?.

Aprovecharemos la existencia de simetría de cargas y geometría para estudiar 1/2 modelo, aplicando las correspondientes restricciones de simetría en cuanto a cargas y condiciones de contorno.

• Definiremos dos modelos para comparar resultados y los resolveremos simultáneamente.
• La orejeta de arriba goza de un conector borde-a-borde con la propiedad CONTACT que le permite separarse del eje en las zonas que trabajan a tracción, y no penetrar si trabaja a compresión.
• La orejeta inferior goza de un conector borde-a-borde con la propiedad GLUE que le impide separarse del eje: dada la diferencia de rigidez del eje (3 veces mayor!!) usar GLUE es como si aplicamos directamente una condición de contorno de empotramiento sobre el agujero!!.

Definición de la Propiedad de Tensión Plana (Plane Stress):

Ejecutamos la orden Model > Property, pulsa el botón ELEM/PROPERTY TYPE y en la ventana seleccionamos la propiedad PLANE STRAIN. En FEMAP V2306 todavía no está disponible de forma explícita la selección de la propiedad PLANE STRESS, pero esperemos que esté disponible muy pronto, ya he pedido que se añada, pero lo podemos configurar pulsando el botón FORMULATION.

En efecto, en la siguiente ventana en el campo NASTRAN seleccionamos la formulación CPLSTS3, CPLSTS4, etc.. que corresponde a los elementos de Tensión Plana (Plane Stress).

Seguidamente verás la propiedad PLANE STRAIN ELEMENT TYPE: no te preocupes por continuar viendo en pantalla la propiedad PLANE STRAIN, internamente la formulación del elemento 2-D sólido plano es correcta, corresponde a los elementos de Tensión Plana.

En efecto, si hacemos un PREVIEW ANALYSIS podrás ver que el tipo de elemento utilizado es el correspondiente a los elementos CPLSTS4 de tensión plana con la propiedad PPLANE:

$ Femap Property 1 : Plane Stress, Lug, t=2.5 mm
PPLANE         1       1     2.5      0.                                
$ Femap Property 3 : Plane Stress, Shaft, t=2.5 mm
PPLANE         3       2     2.5      0.                                
../..
CPLSTS4        1       3      82      83      98      97                

La siguiente imagen muestra las funciones de integración de los elementos sólidos 2-D de Tensión Plana y Deformación Plana cuando se usan con los diferentes módulos de Simcenter NASTRAN (parámetro FOROPT de la orden PPLANE. El término NA significa “not applicable“, usa el valor por defecto):

Un vistazo a la propiedad CONTACT EDGE-TO-EDGE:

La condición de contacto borde-a-borde hace que NASTRAN busque y detecte si los bordes de dos elementos planos entran en contacto. El software crea internamente elementos de contacto si la distancia entre los bordes es igual o menor que la distancia de búsqueda especificada. Los elementos de contacto creados internamente por el solver NASTRAN evitan la penetración de la orejeta en el eje y permiten la separación y/o deslizamiento finito entre orejeta y eje, incluyendo la opción de incluir rozamiento.

FEMAP escribe la propiedad de contacto con la orden BCTPARM de NASTRAN:

$ Femap Connection Property 1 : CONTACT (SOL101)
BCTPARM      108  PENTYP       1 INIPENE       0  SHLTHK       0        +
+           MAXS      45    NCHG     .01 PREVIEW       1

La siguiente tabla muestra todas las opciones de contacto EDGE-TO-EDGE con los elementos sólidos planos 2-D para cálculo Estático Lineal (SOL101), Modal (SOL103), Pandeo Lineal (SOL105), Método Directo de Análisis Dinámico de Respuesta en Frecuencia (SOL108), Análisis Dinámico Modal de Respuesta en Frecuencia (SOL111), Análisis Dinámico Modal Transitorio (SOL112), así como Análisis No Lineal Multi-Step (SOL401/402):

Definición del Conector de Contacto:

El conector utiliza la propiedad CONTACT, y está definido por un par de regiones: he asignado el tipo TARGET al eje por tener mayor rigidez (el material es Acero S-275-JR), y el tipo SOURCE a la orejeta por ser más flexible (el material es Aluminio 6061-T6). Dado que la malla es exactamente coincidente entre la orejeta y el eje no se esperan grandes diferencias en cuanto a la variación de los resultados de tensiones en caso de invertir los tipos de regiones (aunque nunca está de más hacer esa pequeña comprobación para no llevar sorpresas!!).

FEMAP escribe la orden BCTSET de NASTRAN para definir el conector:

$ Femap Connector 108 : Region 2-1 (CONTACT)
BCTSET       108       1       2                      1.           

Defición de las Regiones de Contacto tipo EDGE:

La siguiente imagen muestra la región Orejeta (para el Eje es similar): cuando la definición de la región es mediante curvas, recuerda que el OUTPUT debe ser siempre NODES.

FEMAP escribe la orden BLSEG de NASTRAN para definir las regiones tipo EDGE usando la lista de nodos de cada una de las curvas (FEMAP re-ordena los nodos para que sean consecutivos):

$ Femap Region 1 : LUG
BLSEG          1     480     465     464     463     462     461     460+       
+            451     450     449     448     447     446     445     431+       
+            430     429     428     427     426     425     424     516+       
+            515     514     513     512     511     510                
$ Femap Region 2 : SHAFT
BLSEG          2     631     632     633     634     635     636     637+       
+            638     639     640     641     643     644     645     646+       
+            647     648     649     650     651     652     653     654+       
+            655     656     657     658     659     613  

Ejecución del Análisis Estático Lineal (SOL101):

La siguiente imagen muestra el monitor de análisis con el progreso de la solución, mostrando las iteraciones de contacto. Es fundamental revisar el fichero *.F06 para asegurar que la solución de contacto es convergente (por eso en la propiedad de contacto he aumentado el valor a 45 iteraciones de contacto: por defecto es 20!!):

 ^^^     
 ^^^CONTACT ITERATION NUMBER        11 
 ^^^NUMBER OF CONTACT STATUS CHANGES:                1      (NCHG:            0)
 ^^^NUMBER OF INACTIVE CONTACTS:                    76 
 ^^^NUMBER OF STICKING CONTACTS:                     0 
 ^^^NUMBER OF SLIDING CONTACTS:                     36 
 ^^^BEGIN CONTACT FORCE ITERATION    
 ^^^      FORCE LOOP:            1 
 ^^^      FORCE LOOP:            2 
 ^^^      FORCE LOOP:            3 
 ^^^      FORCE LOOP:            4 
 ^^^      FORCE LOOP:            5 
 ^^^CONTACT FORCE CONVERGENCE RATIO:      7.025811E-03     (CTOL:     1.000000E-02)
 ^^^FINAL CONTACT STATUS AT CONVERGENCE  
 ^^^NUMBER OF CONTACT STATUS CHANGES:                0       (NCHG:            0)
 ^^^NUMBER OF INACTIVE CONTACTS:                    76 
 ^^^NUMBER OF STICKING CONTACTS:                     0 
 ^^^NUMBER OF SLIDING CONTACTS:                     36 
 ^^^     
 ^^^CONTACT ITERATION CONVERGED  
 ^^^     

Postprocesado de Resultados:

La siguiente imagen muestra la animación de los desplazamientos resultantes (mm) entre la solución con el efecto GLUE y la condición de contacto de no-penetración: nada que ver!!!. Fijaros que la condición CONTACT supone un incremento de desplazamiento del 123% en comparación con el efecto GLUE (la escala de la deformada es exagerada, es para ver la tendencia).

• GLUE: 0.177 mm
• CONTACT: 0.394 mm

Y a continuación la comparación de resultados de tensiones nodales de vonMises (MPa) GLUE vs. CONTACT NO-PENETRATION:

• Fijaros en la diferencia de tensiones máximas: la condición CONTACT supone un incremento de tensión del 37% en comparación con el efecto GLUE.
  • GLUE: 300 MPa.
  • CONTACT: 410 MPa.
• Es preocupante que en el efecto GLUE las tensiones y desplazamientos resultantes sean inferiores a las obtenidas con CONTACT: estamos alejándonos de la seguridad, o mejor dicho, podemos tener una falsa sensación de seguridad ya que las tensiones y desplazamientos son reducidos, peligro!!.
• Estaréis conmigo de acuerdo que el uso de la condición GLUE no es muy correcta aquí: pues pensad que es el equivalente a lo que hacemos a menudo en la vida real cuando empotramos una pieza a través de todos sus múltiples agujeros.
  • Nota: GLUE es un método eficiente y muy eficaz de Simcenter NASTRAN para unir mallas diferentes, no coincidentes, como si de una unión soldada se tratara. Transfiere correctamente desplazamientos y cargas dando como resultado una condición precisa de tensión y deformación en la unión.

La siguiente figura muestra las tensiones nodales de vonMises (MPa) en la condición CONTACT EDGE-TO-EDGE:

Y finalmente en la siguiente imagen podemos ver la plastificación del material Alum 6061-T6: en rojo podemos ver las tensiones nodales de vonMises por encima del Limite Elástico del material (SIGYLD=290 MPa).

En resumen: enseñaros cómo usar los elementos sólidos planos 2-D de Tensión Plana con Simcenter FEMAP y NASTRAN en el fondo ha sido una excusa para discutir sobre la bondad de las condiciones de contorno a aplicar en nuestros modelos de Elementos Finitos: ciertamente es lo más complicado!!.

Saludos,
Blas.