TEORIA DE VIBRACIONES

Una estructura vibrante tiene cuatro propiedades básicas: masa, rigidez, amortiguamiento y desplazamiento. Una vibración mecánica es la oscilación de la masa alrededor de su punto de equilibrio. La naturaleza de la oscilación está determinada no sólo por la masa sino también por la rigidez y el amortiguamiento propio de la estructura.

En teoría, la masa puede ser una partícula infinitesimal, tal como una masa condensada, y el amortiguamiento puede estar ausente. En la práctica, la masa de una estructura mecánica tiene peso y dimensiones espaciales, y el amortiguamiento es siempre un factor a considerar.

Las vibraciones mecánicas aparecen cuando la estructura se perturba a partir de su posición de equilibrio aplicando bien un impulso o una excitación periódica.

• Una excitación del tipo impulso produce una vibración libre de la estructura, que vibra a una o más frecuencias naturales (o frecuencias de resonancia) de la estructura y genera una respuesta de cierta magnitud.
• Una excitación periódica produce una vibración forzada de la estructura, que vibra a la frecuencia de la excitación periódica.
• Cuando el amortiguamiento está presente en cualquier vibración libre o forzada, el movimiento de la estructura eventualmente se reduce a cero debido a la disipación de energía.

Vibración Libre

La vibración libre ocurre cuando una masa se desplaza una distancia X y se deja vibrar libremente. El desplazamiento se debe a una excitación tipo impulso de la estructura, sin la aplicación de ninguna fuerza externa a la misma. La masa oscila alrededor de su punto de equilibrio.

Cuando la estructura está en equilibrio estático, el peso de la masa (mg) es igual a la fuerza del muelle (Δk), tal como muestra la siguiente imagen. La fuerza del muelle se define como el producto de la constante de rigidez del muelle, k, y la elongación del muelle en reposo, Δ.

Cada estructura tiene una o más frecuencias naturales de vibración. Las frecuencias naturales (también llamadas frecuencias de resonancia) es la frecuencia a la cual la rigidez y las fuerzas de inercia se anulan entre sí. En análisis modal, los picos de la función de respuesta en frecuencia (FRF) se usan para identificar las frecuencias naturales y modos de vibración de la estructura.

Vibración Libre No Amortiguada

En el caso de una vibración libre no amortiguada la masa oscila con su frecuencia natural alrededor del punto de equilibrio de forma indefinida ya que no hay disipación de energía. Cuando la masa se desplaza una distancia X, la expresión para la fuerza del muelle es la siguiente:

F_k = k(Δ + x)

Y la fuerza resultante actuando en la masa es la siguiente:

F = mg – k(Δ + x) = –kx

Según la ley fundamental de Newton F = ma y dado que la aceleración es la segunda derivada de x, entonces mẍ = –kx que proporciona la siguiente ecuación de movimiento de un sistema de vibración libre no amortiguada:

mẍ + kx = 0

La siguiente imagen muestra la gráfica en función del tiempo de la vibración resultante no amortiguada como una onda tipo seno de magnitud x. La frecuencia natural de la estructura es la frecuencia de la onda seno.

Vibración Libre Amortiguada

En el caso de una vibración libre amortiguada la masa oscila con su frecuencia natural alrededor del punto de equilibrio con una magnitud que tiende a cero debido a la disipación de la energía. Debido a que la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la velocidad de la masa, el término de amortiguamiento se obtiene multiplicando la constante de amortiguamiento c por la velocidad. El amortiguamiento se introduce como un valor negativo en la fuerza resultante. La expresión de la fuerza resultante es igual a la masa multiplicada por la aceleración:

mg – k(Δ + x) – cẋ = mẍ

Recordemos que en el punto de equilibrio las fuerzas de la estructura son mg = kΔ, por tanto la ecuación de movimiento para un sistema de vibración libremente amortiguado puede expresarse como una ecuación diferencial de segundo orden:

mẍ + cẋ + kx = 0

Nótese que todos los términos estructurales están presentes: masa, amortiguamiento, rigidez y desplazamiento. La siguiente imagen muestra la gráfica en función del tiempo de la vibración resultante amortiguada como una onda tipo seno. El valor pico de la Función de Respuesta en Frecuencia (FRF) es la frecuencia natural de la estructura.

• La Función de Respuesta en Frecuencia (Frequency Response Function, FRF) es una función de transferencia que nos permite evaluar la respuesta en frecuencia en uno o más nodos (o elementos!!) a una excitación de fuerza unitaria aplicada en un nodo.
• En cambio, la Transmisibilidad (Transmissibility) nos permite evaluar la respuesta en frecuencia en uno o más nodos/elementos a una excitación del tipo movimiento de la base (enforced motion) tal como desplazamiento, velocidad o aceleración aplicado en el nodo de entrada.
• La respuesta puede ser desplazamiento, velocidad, aceleración, tensión, deformación unitaria o reacciones.

Vibración Forzada

La vibración forzada ocurre cuando una fuerza periódica Fsinωt se aplica a la masa (m) de la estructura, donde ω es la velocidad angular (la frecuencia) de la fuerza y F es la magnitud de la fuerza.

Cuando la estructura está en equilibrio estático, el peso de la masa (mg) es igual a la fuerza del muelle (Δk), tal como muestra la siguiente imagen. La fuerza del muelle se define como el producto de la constante de rigidez del muelle, k, y la elongación del muelle en reposo, Δ.

En un problema de vibración forzada la estructura vibra con la frecuencia de la carga periódica aplicada a la estructura y la magnitud depende de la propia estructura, no de la carga aplicada.

Cuando la frecuencia de la carga periódica es la misma que la frecuencia natural de la estructura, aparece el fenómeno de la resonancia. Esto puede causar problemas muy graves ya que la magnitud del movimiento sigue aumentando mientras se mantenga la fuerza, por lo tanto puede llegar a destruir la estructura.

Vibración Forzada No Amortiguada

En el caso de una vibración forzada no amortiguada la masa oscila a la frecuencia de la fuerza alrededor del punto de equilibrio de forma indefinida ya que no hay disipación de energía. En este caso la fuerza resultante en la estructura es la suma de fuerzas inherentes al sistema más la fuerza periódica, siendo igual a la masa por la aceleración:

Fsinωt + mg – k(Δ + x) = mẍ

donde t es el tiempo, x el desplazamiento, y ẍ la aceleración.

Recordemos que en el equilibrio las fuerzas de la estructura son mg = kΔ, por tanto la ecuación de movimiento de un sistema de vibración forzada no amortiguada se puede escribir como:

mẍ + kx = Fsinωt

En este caso el término de la fuerza tiene un valor no nulo ya que la fuerza aplicada a la estructura tiene una magnitud distinta de cero.

Vibración Forzada Amortiguada

En el caso de una vibración forzada amortiguada la masa oscila alrededor del punto de equilibrio con una magnitud que tiende a cero debido a la disipación de la energía a la frecuencia impuesta por la fuerza periódica. Debido a que la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la velocidad de la masa, el término de amortiguamiento se obtiene multiplicando la constante de amortiguamiento c por la velocidad ẋ. El amortiguamiento se introduce como un valor negativo en la fuerza resultante. La expresión de la fuerza resultante se iguala a la masa multiplicada por la aceleración:

Fsinωt + mg – k(Δ + x) – cẋ = mẍ

Recordemos que en el punto de equilibrio las fuerzas de la estructura son mg = kΔ, por tanto la ecuación de movimiento para un sistema de vibración forzada amortiguado puede expresarse como una ecuación diferencial de segundo orden:

mẍ  + cẋ + kx = Fsinωt

Esta es la ecuación general de movimiento para una estructura con un único grado de libertad bajo vibración forzada.

GDL y Modos de Vibración

Una estructura tiene tantas frecuencias naturales como grados de libertad (degrees-of-freedom, DOFs) tenga, este es el primer concepto que se debe aprender en vibraciones. Cada modo de vibración está caracterizado por una frecuencia natural (resonancia, en Hz) y una forma del modo de vibración (mode shape).

El modo de vibración (mode shape) generalmente representa el desplazamiento de un nodo de la estructura relativo al resto de nodos del modelo de EF, por tanto es un valor normalizado, el resultado numérico no tiene ningún significado, no se puede decir que “la estructura tiene un desplazamiento de x mm” al representar en pantalla su modo de vibración (tal como he visto escrito en algún informe de cálculo por ahí …).

Estructura con 1 GDL

Una estructura con un único GDL tiene un solo modo de vibración y se caracteriza por:

• Una masa condensada constituyendo un nodo de la estructura.
• Una deformada estructural a lo largo de un eje.
• Una frecuencia de resonancia.

El modo de vibración de una estructura con un sólo GDL es difícil de visualizar ya que la estructura tiene únicamente un punto. Se puede pensar en un modo de vibración con una masa puntual oscilando a lo largo de un eje. Ya que no hay más puntos en la estructura, no hay ninguna otra relación posible de movimiento.

Estructura con 2 GDL

Una estructura con dos nodos que sólo se pueden mover a lo largo de un eje sólo tiene 2 GDL, y por lo tanto tendrá únicamente dos modos de vibración. Para ilustrar este tipo de estructuras la siguiente imagen muestra una estructura compuesta por dos masas puntuales, dos muelles y dos amortiguadores. En el primer modo de vibración de la estructura es posible que las dos masas puntuales oscilen en la misma dirección y al mismo tiempo. Se dice que las dos masas nodales se mueven en-fase una respecto de la otra, tal como muestra la siguiente imagen. Este primer modo de vibración está caracterizado por una frecuencia relativamente baja y una amplitud relativamente alta.

En el segundo modo de vibración de la estructura las dos masas puntuales oscilan en dirección opuesta. Están desfasadas la una de la otra. Una inspección detallada de la posición relativa de los amortiguadores en el siguiente gráfico revela que las dos masas se mueven en dirección opuesta simultáneamente al mismo tiempo. El Modo#2 tiene mayor frecuencia y menor amplitud que el Modo#1.

La gráfica de respuesta del Modo#1 define de forma aproximada el comportamiento de cualquiera de los puntos del sistema a una frecuencia de resonancia baja mientras que la respuesta del Modo#2 se aproxima a una frecuencia de resonancia alta.

Es fácil visualizar los dos modos de vibración en este tipo de estructuras porque las masas puntuales oscilan bien en-fase o fuera-de-fase una de la otra. A baja frecuencia de resonancia, la relación en-fase es más aparente, y a alta frecuencia de resonancia la relación de desfase es más clara.

El patrón real de desplazamiento de cualquiera de las dos masas puntuales virtualmente a cualquier frecuencia resulta de combinar los diferentes desplazamientos en la estructura simultáneamente, mientras que en este caso la respuesta de la estructura se compone únicamente del Modo#1 y Modo#2.

Si miramos por separado las Funciones de Respuesta en Frecuencia (FRF) por cada modo de vibración, es fácil comprobar cómo aparece una tercera función de respuesta en frecuencia (la que se obtendría con la respuesta actual de la estructura) que en realidad es la suma de las funciones de respuesta en frecuencia de cada modo por separado.

Estructura con 3 GDL

Una estructura con 3 GDL tiene tres modos de vibración. Supongamos que tenemos una Tabla de Tranpolín en voladizo dividida en tres segmentos, tal como muestra la siguiente imagen, y supongamos que cada segmento se representa por un nodo con un único GDL.

En el Modo#1 los tres nodos oscilan alrededor del punto de equilibrio en fase unos con otros. Este es el modo de vibración más comúm que aparece cuando un nadador salta a la piscina desde el extremo del tranpolín.

La estructura además también vibra según los Modos #2 y #3. Estos modos de vibración están claramente desfasados entre los distintos nodos del modelo.

De nuevo, si la frecuencia de resonancia aumenta, la magnitud de la respuesta decrece. La siguiente imagen compara las frecuencias y magnitudes de los tres Modos de vibración para la respuesta en desplazamiento del nodo#1.

Cuando se suman las respuestas para los tres Modos de vibración aparece una imagen mucho más exacta del comportamiento real del nodo#1. La imagen con la Función de Respuesta en Frecuencia (FRF) muestra que los tres Modos de vibración están presentes según aumenta la frecuencia.

La respuesta de la estructura para los nodos#2 y 3 es similar al nodo#1. Lo único que cambia es la amplitud del desplazamiento.

Saludos,
Blas.